近日，华东师大精密光谱科学与技术国家重点实验室曾和平教授团队首次在理论和实验中观察到了呼吸子激光中存在法里树和魔鬼阶梯的层次结构，揭示了呼吸子超快激光器中的分形动力学。相关研究成果以“Farey tree and devil’s staircase of frequency-locked breathers in ultrafast lasers”为题于2022年10月2日发表于Nature Communications。

Nature Communications刊发曾和平教授团队研究成果

该图形象地说明了飞秒光纤激光器中产生的呼吸子实际上是一种分形结构-法里树，进一步研究表明该法里树的维度和魔鬼阶梯一致

1975年，数学家Benoit Mandelbrot首次提出“分形”一词，并由此诞生了一门新的学科-分形几何学。Mandelbrot将分形定义为“分形是局部和整体以某种方式相似的形状”。分形在自然界中的一个典型例子是西兰花，西兰花每一个分支和整体的形状都是相似的；虽然分形最初只是一个数学概念，但已经在众多系统中被观察到，例如材料学、生物学、神经学、电路、网络、地理和股票价格波动等。

2000年，光学孤子和分形之间的联系在理论上被建立起来（Phys. Rev. Lett. 84, 1902，2000)。由于光孤子较为稳定，将其“分形”为多个分支需要对传输介质（例如光纤）的物理性质进行多次改变，且需要在多个位置对光孤子进行探测。这些条件在实验上很难实现，相关实验几乎无法开展。

　　呼吸子是参数周期性变化的局域化波包，由于它与湍流、混沌、极端事件、调制不稳定性等非线性现象密切相关，获得了学界的广泛关注。该团队首次在实验和理论上将呼吸子和分形联系起来。他们研究发现通过控制激光器相关参数，激光器输出光场可以在两类呼吸子之间切换：频率锁定和非锁定呼吸子。频率锁定呼吸子的呼吸频率自发地锁在激光器重复频率上，在外界扰动下保持不变。其频率稳定性比没有锁定的呼吸子高3000倍左右（图1）。由于人工寻找频率锁定呼吸子需要一定的经验且耗时费力，该团队还展示了利用智能控制系统可以实现频率锁定呼吸子的快速搜寻。

图1：锁定呼吸子与未锁定呼吸子的频率稳定性对比，前者稳定性是后者的3000倍左右，其中SD（ Standard Deviation）为标准差

　　此外，团队还发现呼吸频率(呼吸子演化周期的倒数)与激光器重复频率(由激光器长度决定)的比值（即：环绕数），随着泵浦电流的变化会出现如蓝色阶梯的一系列平台（图2）。平台对应的环绕数非常稳定，不随泵浦电流变化。这些平台对应的数值展现出经典的分形结构-法里树（图2的插图）。该分形结构被称为魔鬼阶梯是因为其分形维度的值（0.87）和魔鬼阶梯一致。

图2：呼吸频率/环绕数（winding number）随泵浦电流的改变出现一系列平台结构。平台对应的环绕数构成了法里树，如插图所示。环绕数是指呼吸频率(呼吸子演化周期的倒数)与激光器重复频率(由激光器长度决定)的比值；环绕数等于1/5表示呼吸频率是激光器重复频率的1/5

　　分形呼吸子的另一个特点是可以产生不受激光器腔长限制的密集频率梳。该研究工作展示了该激光器出射的激光的梳齿密度较相同腔长的激光器大幅增加了41倍。由此可见，基于分形的呼吸子激光器作为亚兆赫兹光频梳的替代方案，具有很强的吸引力。

　　该工作表明呼吸子激光器可作为一个简单的非线性系统来研究分形动力学。由于呼吸子的普遍性(微腔、BEC、流体力学等)，该工作有望激发分形在相关物理系统中的研究，分形为理解这些系统中的复杂动力学提供了一个全新的视角。更广泛地来看，描述飞秒激光器的物理模型是非线性薛定谔方程，该方程具有很强的普适性。这项工作通过实验和理论发现的非线性薛定谔方程的分形解，也将在相关的物理系统中获得广泛关注。

　　论文第一作者为华东师大精密光谱科学与技术国家重点实验室博士研究生吴修齐，第二作者为博士研究生张颖，曾和平教授和彭俊松研究员为论文的共同通讯作者。该工作得到了科技部、国家自然科学基金委、上海市科委和重庆市科委的资助。

附：

论文链接：https://www.nature.com/articles/s41467-022-33525-0